Question

3．已知抛物线C的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上一点M的横坐标为2，且$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{OM}$=10．
（Ⅰ）求此抛物线C的方程；
（Ⅱ）过点（4，0）做直线l交抛物线C于A，B两点，求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设抛物线C：y²=2px（p＞0），点M（2，y₀），代入抛物线方程，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可求得p=2，进而得到抛物线方程；
（Ⅱ）讨论当直线l斜率不存在时，求出A，B坐标，可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0；当直线l斜率存在时，设l：y=k（x-4），联立抛物线方程，运用韦达定理，结合向量垂直的条件，化简整理即可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0．

解答 解：（Ⅰ）设抛物线C：y²=2px（p＞0），点M（2，y₀），
则有y₀²=4p，
∵F（$\frac{p}{2}$，0），∴$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{OM}$=4-p+y₀²=4+3p=10，
∴p=2，
所以抛物线C的方程为y²=4x；
（Ⅱ）当直线l斜率不存在时，此时l：x=4，
解得A（4，4），B（4，-4），满足$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0；
当直线l斜率存在时，设l：y=k（x-4），
联立方程，消去y可得k²x²-（8k²+4）x+16k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=16，
则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂-4k²（x₁+x₂）+16k²
=16（1+k²）-32k²-16+16k²=0，
综上所述，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，以及直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，同时考查向量数量积的坐标表示，和向量垂直的条件，属于中档题．