Question

8．已知f（x）=$\frac{{e}^{x}}{1+a{x}^{2}}$，其中a为正实数．
（1）当a=$\frac{4}{3}$时，求f（x）的极值点，并指出是极大值点还是极小值点；
（2）若f（x）为实数集R上的单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导数，列表即可得解；（2）f（x）为R上的单调函数可转化为其导数在R上恒大于等于零或恒小于等于零．

解答 解：（1）当a=$\frac{4}{3}$时，$f（x）=\frac{{e}^{x}}{1+\frac{4}{3}{x}^{2}}$，∴$f′（x）=\frac{{e}^{x}（2x-3）（2x-1）}{3（1+\frac{4}{3}{x}^{2}）^{2}}$，
令f′（x）=0，得${x}_{1}=\frac{1}{2}，{x}_{2}=\frac{3}{2}$．

x	（-$-∞，\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2}$	$（\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$	$\frac{3}{2}$	$（\frac{3}{2}，+∞）$
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函数	极大值	减函数	极小值	增函数

∴${x}_{1}=\frac{3}{2}$是极小值点，${x}_{2}=\frac{1}{2}$是极大值点；
（2）$f′（x）=\frac{{e}^{x}（a{x}^{2}-2ax+1）}{（1+a{x}^{2}）^{2}}$
若f（x）为R上的单调函数，f′（x）在R上不变号
∵a＞0，∴ax²-2ax+1≥0在R上恒成立，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4{a}^{2}-4a=4a（a-1）≤0}\end{array}\right.$ 解得：0＜a≤1．
∴实数a 的取值范围是（0，1]．

点评 本题考查导数在函数中的应用．考查了转化的思想方法．在解题时应注意这种思想方法的运用．