Question

20．设正项数列{a_n}是首项为a₁，公差为2的等差数列，其前n项和为S_n，且S₁+1，S₂，S₃-1成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，记{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由等差数列的求和公式和等比数列可得关于a₁的方程，解方程可得a₁．然后根据等差数列的通项公式进行解答；
（2）由已知：b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）依题意得：S₁+1=a₁+1，S₂=2a₁+2，S₃-1=3a₁+6-1=3a₁+5．
∵S₁+1，S₂，S₃-1成等比数列，
∴（2a₁+2）²=（a₁+1）（3a₁+5），
解得a₁=1或a₁=-1．
∵数列{a_n}是正项数列，
∴a₁=1，
∴a_n=2n-1．
（2）由（1）知，a_n=2n-1．则b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
则数列{b_n}的前n项和为T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n-1}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，①
所以$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+$\frac{5}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，②
由①-②得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+2（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+2×$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$．
故T_n=3-$\frac{1}{{2}^{2-n}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．