Question

5．设函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，φ＞0）满足：在一个周期内，当x=-$\frac{2}{5}$π时，函数有最大值2，当x=$\frac{8}{5}$π时，函数有最小值-2．
（1）求实数A，ω，φ的值；
（2）求该函数的单调增区间；
（3）用五点作图法作出这个函数的大致图象．

Answer 1

分析 （1）根据函数的最大值求得A=2，根据相邻的最大值最小值之间的距离，求得T，利用周期公式可求ω，将（$\frac{8}{5}$π，-2），代入y=2sin（2x+φ），求得φ．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{7π}{10}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得函数的单调增区间．
（3）求出对应的五点，利用“五点作图法”画出函数y=f（x）在一个周期上的图象．

解答 解：（1）由函数的最小值为-2，
∴A=2，$\frac{T}{2}$=$\frac{8}{5}$π-（-$\frac{2}{5}$π）=2π，T=4π，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{1}{2}$，可得：y=2sin（$\frac{1}{2}$x+φ），
∵函数图形过点（ $\frac{8}{5}$π，-2），代入y=2sin（$\frac{1}{2}$x+φ），可得：$\frac{4π}{5}$+φ=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
∴φ=2kπ+$\frac{7π}{10}$，k∈Z，
∵φ＞0
∴当k=0时，可得φ=$\frac{7π}{10}$．
（2）由（1）可得：y=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{7π}{10}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{7π}{10}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：4kπ-$\frac{12π}{5}$≤x≤4kπ-$\frac{2π}{5}$，k∈Z，
可得函数的单调增区间为：[4kπ-$\frac{12π}{5}$，4kπ-$\frac{2π}{5}$]，k∈Z，
（3）列表如下：

x	-$\frac{7π}{5}$	-$\frac{2π}{5}$	$\frac{3π}{5}$	$\frac{8π}{5}$	$\frac{13π}{5}$
$\frac{1}{2}$x+$\frac{7π}{10}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
y=2sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{7π}{10}$）	0	2	0	-2	0

描出五个关键点并光滑连线，得到一个周期的简图；图象如下：

点评 本题考查求正弦函数解析式的方法，考查三角函数的图象和性质，也考查了五点作图法画函数y=Asin（ωx+φ）的图象的应用问题，是基础题目．