Question

（2005•上海模拟）已知f（x）是定义在R上的增函数，且记g（x）=f（x）-f（1-x）．
（1）设f（x）=x，若数列{a_n}满足a₁=3，a_n=g（a_n-1），试写出{a_n}的通项公式及前2m的和S_2m；
（2）对于任意x₁、x₂∈R，若g（x₁）+g（x₂）＞0，判断x₁+x₂-1的值的符号．

Answer 1

分析：（1）根据题意得a_n=g（a_n-1）=f（a_n-1）-f（1-a_n-1）=a_n-1-（1-a_n-1）=2a_n-1-1，则a_n-1=2（a_n-1-1），从而得到数列{a_n-1}是以2为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式和求和公式即可求出
（2）利用反证法的思想进行判断x₁+x₂-1的值的符号．若x₁+x₂-1≤0，则x₁≤1-x₂，x₂≤1-x₁，结合f（x）是定义在R上的增函数得出矛盾，从而得到x₁+x₂-1＞0．

解答：解：（1）a_n=g（a_n-1）=f（a_n-1）-f（1-a_n-1）=a_n-1-（1-a_n-1）=2a_n-1-1，则a_n-1=2（a_n-1-1），a₁-1=2，即数列{a_n-1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n=2ⁿ+1，S2m=

2(22m-1)

2-1

+2m=22m+1+2m-2；
（2）若x₁+x₂-1≤0，则x₁≤1-x₂，x₂≤1-x₁，∵f（x）是定义在R上的增函数
∴f（x₁）≤f（1-x₂），f（x₂）≤f（1-x₁），则f（x₁）+f（x₂）≤f（1-x₂）+f（1-x₁）
∴f（x₁）-f（1-x₁）+f（x₂）-f（1-x₂）≤0，即g（x₁）+g（x₂）≤0，与g（x₁）+g（x₂）＞0矛盾，
∴x₁+x₂-1＞0

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、数列与函数的综合、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．