Question

【题目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，M1分别为AB，A1B1中点.

（1）求证：C1M1∥面A1MC；

（2）若面ABC⊥面ABB1A1，△AB1B为正三角形，AB＝2，BC＝1，，求四棱锥B1﹣AA1C1C的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）连结M1M，推导出四边形MCC1M1是平行四边形，从而C1M1∥CM，由此能证明C1M1∥面A1MC.

（2）推导出B1M⊥AB，B1M⊥面ABC，B1M是三棱柱ABC﹣A1B1C1的高，四棱锥B1﹣AA1C1C的体积为.

（1）连结M1M，

∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，M1分别为AB，A1B1中点.

∴M1M∥B1B，且M1M＝B1B，C1C∥B1B，且C1C＝B1B，

∴M1M∥C1C，且M1M＝C1C，

∴四边形MCC1M1是平行四边形，

∴C1M1∥CM，

∵C1M1平面A1MC，CM平面A1MC，

∴C1M1∥面A1MC.

（2）∵△ABB1是正三角形，面ABC⊥面ABB1A1，M为AB中点，

∴B1M⊥AB，∴B1M⊥面ABC，

∴B1M是三棱柱ABC﹣A1B1C1的高，

∵AB＝2，BC＝1，，∴BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，

∴四棱锥B1﹣AA1C1C的体积为：

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