Question

已知椭圆C：

x2

a2

+y2=1(a＞1)的右焦点为F（c，0）（c＞1），点P在圆O：x²+y²=1上任意一点（点P第一象限内），过点P作圆O的切线交椭圆C于两点Q、R．
（1）证明：|PQ|+|FQ|=a；
（2）若椭圆离心率为

3

2

，求线段QR长度的最大值．

Answer 1

分析：（1）设Q（x₁，y₁）（x₁＞0），先求得|FQ|；再利用PQ是圆x²+y²=1的切线，求出|PQ|，即可证得结论；
（2）利用椭圆离心率为

3

2

，可求得a．
方法一：设直线QR的方程为y=kx+m，利用直线QR与圆O相切，可得m²=k²+1，将直线方程代入椭圆方程，从而可求|QR|，再利用基本不等式，即可求得结论；
方法二：设P（x₀，y₀），Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），则直线QR的方程为x₀x+y₀y=1，与椭圆方程联立，从而可求|QR|，再利用基本不等式，即可求得结论．

解答：（1）证明：设Q（x₁，y₁）（x₁＞0），得|FQ|=a-ex₁，…（3分）
∵PQ是圆x²+y²=1的切线，∴|PQ|=

|OQ|2-|OP|2

=

x 2 1 + y 2 1 -1

，
∵

x12

a2

+y12=1，∴|PQ|=

x 2 1 +(1- x 2 1 a2 )-1

=

(1- 1 a2 ) x 2 1

=ex1，…（6分）
所以|PQ|+|FQ|=a．                                  …（7分）
（2）解：由题意，e=

a2-1

a

=

3

2

，∴a=2．                …（9分）
方法一：设直线QR的方程为y=kx+m，∵点P在第一象限，∴k＜0，m＞0．
由直线QR与圆O相切，∴

|m|

k2+1

=1，∴m²=k²+1．        …（11分）
由

y=kx+m x2 4 +y2=1

，消y得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
设R（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=-

8km

1+4k2

．
由（1）知，|QR|=e(x1+x2)=

3

2

(-

8km

1+4k2

)=4

3

•

|k|m

1+4k2

=4

3

•

|k|m

m2+3k2

，…（14分）
∵m2+3k2≥2

3

m|k|，∴|QR|≤4

3

•

1

2 3

=2．
当且仅当m=-

3

k时，|QR|取最大值2，此时直线QR的方程为y=k(x-

3

)，过焦点F．…（16分）
方法二：设P（x₀，y₀），Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），则直线QR的方程为x₀x+y₀y=1．             …（11分）
由

x0x+y0y=1 x2+4y2=4

，消y得(

y

2 0

+4

x

2 0

)x2-8x0x+4-4

y

2 0

=0，则x1+x2=

8x0

y 2 0 +4 x 2 0

，
∵

x

2 0

+

y

2 0

=1，∴x1+x2=

8x0

1+3 x 2 0

，
由（1）知，|QR|=e(x1+x2)=

3

2

•

8x0

1+3 x 2 0

=4

3

•

x0

1+3 x 2 0

=4

3

•

1

1 x0 +3x0

，…（14分）
∵

1

x0

+3x0≥2

3

，∴|QR|≤4

3

•

1

2 3

=2，
当且仅当x0=

3

3

时，|QR|取最大值2，此时P(

3

3

，

6

3

)，直线QR过焦点F．  …（16分）

点评：本题考查椭圆的定义，考查直线与圆、椭圆的位置关系，考查基本不等式的运用，正确表示|QR|是关键．