Question

如果函数f（x）=

2x-a

a×2x+1

（a＜0）是奇函数，则函数y=f（x）的值域是（　　）

A．[-1，1]

B．（-1，1]

C．（-1，1）

D．以上都不对

Answer 1

分析：由奇函数定义求出a的值，然后通过变形使得函数式变为只是分母含有未知量的函数，最后根据取值变化求出函数值域．

解答：解：∵函数f(x)=

2x-a

a•2x+1

为奇函数
∴f（-x）+f（x）=0恒成立．
∴

2-x-a

a•2-x+1

+

2x-a

a•2x+1

=0恒成立．
∴

1-a•2x

a+2x

+

2x-a

a•2x+1

=

(1-a•2x)(a•2x+1)+(2x-a)(a+2x)

(a+2x)(a•2x+1)

=

(1-a2)(1+22x)

(a+2x)(a•2x+1)

=0恒成立
∴1-a²=0
∵a＜0
∴a=-1
∴f(x)=

2x+1

1-2x

=-1-

2

2x-1

∵2^x＞0且2^x≠1
∴2^x-1＞-1，且2^x-1≠0
∴

2

2x-1

＜-2，或

2

2x-1

＞0
∴-

2

2x-1

＜0，-

2

2x-1

＞2
∴-1-

2

2x-1

＜-1，或-1-

2

2x-1

＞1
即函数值域为

f(x)|

f（x）＜-1，或f（x）＞1，}
故选D

点评：本题主要考查函数的性质及应用、函数值域的求法，对运算能力要求较高．