Question

（2008•湖北模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是矩形，且AD=

2

AB，AB=AP，PA⊥底面ABCD，E为AD的中点，F为PC的中点．
（1）求证：EF为AD及PC的公垂线
（2）求二面角的大小F-EB-C．

Answer 1

分析：（1）分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，进而证明

AD

•

EF

=0，

PC

•

EF

=0，故得证；
（2）先求两半平面的法向量利用数量积公式可求二面角F-EB-C的平面角

解答：解（1）：证明：设AB=1，则AD=

2

，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则
A（0，0，0）、B（0，1，0）、C(

2

，1，0)、D(

2

，0，0)、E(

2

2

，0，0)、P（0，0，1）、F(

2

2

，

1

2

，

1

2

)、

AD

=(

2

，0，0)、

PC

=(

2

，1，-1)、

EF

=(0，

1

2

，

1

2

)
∴

AD

•

EF

=0，

PC

•

EF

=-

1

2

+

1

2

 =0
∴AD⊥EF，PC⊥EF
故PC为AD及EF的公垂线                            （6分）
（2）∵

EB

=(-

2

2

，1，0)，

PC

•

EB

=-1+1+0=0，
∴PC⊥平面EFB
故

PC

可看成平面EFB的法向量
∵

n

=(0，0，1)可看成平面ABCD的法向量
设二面角F-EB-C的平面角为β，∴cosβ=|

-1

1×2

|=

1

2

故二面角F-EB-C的平面角为60⁰（12分）

点评：本题以四棱锥为载体，考查线线垂直，考查面面角，关键是构建空间直角坐标系，用坐标表示向量，从而利用公式．