Question

2．已知f（a，b）=ax+by，如果1≤f（1，1）≤2，且-1≤f（1，-1）≤1，试求f（2，1）的取值范围．

Answer 1

分析 根据二元函数关系建立不等式组，作出可行域，利用线性规划的知识进行求解即可．

解答 解：∵1≤f（1，1）≤2，且-1≤f（1，-1）≤1，
∴1≤a+b≤2，且-1≤a-b≤1，
则f（2，1）=2a+b，
作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=2a+b，则b=-2a+z，
平移直线b=-2a+z，由图象知当b=-2a+z，经过点A（0，1）时，
直线的截距最小，此时z最小，
最小为z=0+1=1，
当b=-2a+z，经过点B时，直线的截距最大，此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{a+b=2}\\{a-b=1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{2}}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
此时最大值z=2×$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，
即1≤z≤$\frac{7}{2}$，
故f（2，1）的取值范围是[1，$\frac{7}{2}$]．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据条件将不等式进行转化，建立可行域，利用数形结合是解决本题的关键．