Question

12．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AB，CD₁的中点，AA₁=AD=1，AB=2．．
（1）求证：EF∥平面BCC₁B₁；
（2））求证：平面CD₁E⊥平面D₁DE；
（3）求三棱锥F-D₁DE的体积．

Answer 1

分析 （1）过F作FM∥C₁D₁交CC₁于M，连结BM，推导出EBMF是平行四边形，从而EF∥BM，由此能证明EF∥平面BCC₁B₁．
（2）推导出D₁D⊥CE，CE⊥DE，从而CE⊥平面D₁DE，由此能证明平面CD₁E⊥平面D₁DE．
（3）由${V}_{F-{D}_{1}DE}={V}_{E-{D}_{1}DF}$，能求出三棱锥F-D₁DE的体积．

解答 证明：（1）过F作FM∥C₁D₁交CC₁于M，连结BM，
∵F是CD₁的中点，∴FM∥C₁D₁，FM=$\frac{1}{2}$C₁D₁，（2分）
又∵E是AB中点，∴BE∥C₁D₁，BE=$\frac{1}{2}$C₁D₁，
∴BE∥FM，BE=FM，EBMF是平行四边形，∴EF∥BM
又BM在平面BCC₁B₁内，∴EF∥平面BCC₁B₁．（4分）
（2）∵D₁D⊥平面ABCD，CE在平面ABCD内，∴D₁D⊥CE
在矩形ABCD中，DE²=CE²=2，∴DE²+CE²=4=CD²，（6分）
∴△CED是直角三角形，∴CE⊥DE，∴CE⊥平面D₁DE，
∵CE在平面CD₁E内，∴平面CD₁E⊥平面D₁DE．（8分）
解：（3）三棱锥F-D₁DE的体积：
${V}_{F-{D}_{1}DE}={V}_{E-{D}_{1}DF}$
=$\frac{1}{3}×{S}_{△{D}_{1}DF}×AD$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{D}_{1}D×\frac{1}{2}CD×AD$=$\frac{1}{6}$．（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求不地，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．