Question

【题目】已知椭圆 （a＞b＞0）的右焦点F（1，0），离心率为 ，过F作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N．

（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；
（3）若弦AB，CD的斜率均存在，求△FMN面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意：c=1， = ，

∴a= ，b=c=1，

则椭圆的方程为 +y2=1

（2）证明：∵AB，CD斜率均存在，

∴设直线AB方程为：y=k（x﹣1），

再设A（x1，y1），B（x2，y2），则有M（ ，k（ ﹣1）），

联立得： ，

消去y得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，

∴ ，即M（ ， ），

将上式中的k换成﹣ ，同理可得：N（ ， ），

若 = ，解得：k=±1，直线MN斜率不存在，

此时直线MN过点（ ，0）；

下证动直线MN过定点P（ ，0），

若直线MN斜率存在，则kMN= = = × ，

直线MN为y﹣ = × （x﹣ ），

令y=0，得x= + × = × = ，

综上，直线MN过定点（ ，0）

（3）解：由第（2）问可知直线MN过定点P（ ，0），

故S△FMN=S△FPM+S△FPN= × | |+ × | = × ，

令t=|k|+ ∈[2，+∞），S△FMN=f（t）= × = × ，

∴f（t）在t∈[2，+∞）单调递减，

当t=2时，f（t）取得最大值，即S△FMN最大值 ，此时k=±1．

【解析】（1）根据题意确定出c与e的值，利用离心率公式求出a的值，进而求出b的值，确定出椭圆方程即可；（2）由直线AB与CD向量存在，设为k，表示出AB方程，设出A与B坐标，进而表示出M坐标，联立直线AB与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出M，同理表示出N，根据M与N横坐标相同求出k的值，得到此时MN斜率不存在，直线MN恒过定点；若直线MN斜率存在，表示出直线MN斜率，进而表示出直线MN，令y=0，求出x的值，得到直线MN恒过定点，综上，得到直线MN恒过定点，求出定点坐标即可；（3）根据P坐标，得到OP的长，由OF﹣OP表示出PF长，三角形MNF面积等于三角形PMF面积加上三角形PNF面积，利用基本不等式求出面积的最大值即可．