【题目】如图,GH是东西方向的公路北侧的边缘线,某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建设一仓库,设AB=ykm,并在公路北侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF(其中EF在GH上),现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB,AC,已知AB=AC+1,且∠ABC=60°..
(1)求y关于x的函数解析式,并求出定义域;
(2)如果中转站四堵围墙造价为10万元/km,两条道路造价为30万元/km,问:x取何值时,该公司建设中转站围墙和两条道路总造价M最低.
【答案】
(1)解:在△BCF中,CF=x,∠FBC=30°,CF⊥BF,所以BC=2x.
在△ABC中,AB=y,AC=y﹣1,∠ABC=60°,
由余弦定理,得AC2=BA2+BC2﹣2BABCcos∠ABC,
即((y﹣1)2=y2+(2x)2﹣2y2xcos60°,
所以 .
由AB﹣AC<BC,得 .又因为 >0,所以x>1.
所以函数 的定义域是(1,+∞)
(2)解:M=30(2y﹣1)+40x.
因为 .(x>1),所以M=30
即 M=10 .
令t=x﹣1,则t>0.于是M(t)=10(16t+ ),t>0,
由基本不等式得M(t)≥10(2 )=490,
当且仅当t= ,即x= 时取等号.
答:当x= km时,公司建中转站围墙和两条道路最低总造价M为490万元
【解析】(1)在△BCF中,CF=x,∠FBC=30°,CF⊥BF,BC=2x.在△ABC中,AB=y,AC=y﹣1,∠ABC=60°,由余弦定理,求解函数的解析式,然后求解定义域.(2)求出M=30(2y﹣1)+40x,通过基本不等式求解表达式的最值即可.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆 (a>b>0)的右焦点F(1,0),离心率为 ,过F作两条互相垂直的弦AB,CD,设AB,CD的中点分别为M,N.
(1)求椭圆的方程;
(2)证明:直线MN必过定点,并求出此定点坐标;
(3)若弦AB,CD的斜率均存在,求△FMN面积的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=aln x+ (a>0).
(1)求函数f(x)的极值;
(2)若对任意的x>0,恒有ax(2-ln x)≤1,求实数a的取值范围;
(3)是否存在实数a,使得函数f(x)在[1,e]上的最小值为0?若存在,试求出a的值;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某学校为了解学校食堂的服务情况,随机调查了50名就餐的教师和学生.根据这50名师生对餐厅服务质量进行评分,绘制出了频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组为[40,50),[50,60),…,[90,100].
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)从评分在[40,60)的师生中,随机抽取2人,求此人中恰好有1人评分在[40,50)上的概率;
(3)学校规定:师生对食堂服务质量的评分不得低于75分,否则将进行内部整顿,试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分,并据此回答食堂是否需要进行内部整顿.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com