【题目】如图,四边形是矩形,
,
是
的中点,
与
交于点
,
平面
.
(Ⅰ)求证:面
;
(Ⅱ)若,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)要证AF与平面BEG垂直,只要证AF与平面内两条相交直线垂直,由已知GF垂直于底面ABCD,有GF垂直AF,另外可以在矩形BACD中证明BE垂直于AC(可用相似三角形证明角相等);(Ⅱ)求直线EG与平面所成角的正弦,可用体积法求出E到平面ABG的距离d,则就是所求正弦值,而求棱锥
的体积可通过
来求得.
试题解析:证法1:
∵四边形为矩形,∴
∽
,∴
又∵矩形中,
,∴
在中,
∴
,
在中,
∴,即
∵平面
,
平面
∴
又∵,
平面
∴
平面
证法2:(坐标法)证明,得
,往下同证法1.
证法3:(向量法)以为基底, ∵
,
∴
∴,往下同证法1.
(2)在中,
在中,
在中,
,
∴
设点到平面
的距离为
,则
,∴
设直线与平面
所成角的大小为
,则
另法:由(1)得两两垂直,以点
为原点,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
,
,
设是平面
的法向量,则
,即
,取
,得
设直线与平面
所成角的大小为
,则
∴直线与平面
所成角的正弦值为
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【题目】已知函数(
),其最小正周期为
.
(1)求在区间
上的减区间;
(2)将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向右平移
个单位,得到函数
的图象,若关于
的方程
在区间
上有且只有一个实数根,求实数
的取值范围.
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【题目】若有穷数列(
是正整数),满足
即
(
是正整数,且
),就称该数列为“对称数列”。例如,数列
与数列
都是“对称数列”.
(1)已知数列是项数为9的对称数列,且
,
,
,
,
成等差数列,
,
,试求
,
,
,
,并求前9项和
.
(2)若是项数为
的对称数列,且
构成首项为31,公差为
的等差数列,数列
前
项和为
,则当
为何值时,
取到最大值?最大值为多少?
(3)设是
项的“对称数列”,其中
是首项为1,公比为2的等比数列.求
前
项的和
.
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【题目】设椭圆方程+
=1(a>b>0),椭圆上一点到两焦点的距离和为4,过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A,B两点,AB=2.
(1)求椭圆方程;
(2)若M,N是椭圆C上的点,且直线OM与ON的斜率之积为﹣,是否存在动点P(x0,y0),若
=
+2
,有x02+2y02为定值
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【题目】设为坐标原点,已知椭圆
的离心率为
,抛物线
的准线方程为
.
(1)求椭圆和抛物线
的方程;
(2)设过定点的直线
与椭圆
交于不同的两点
,若
在以
为直径的圆的外部,求直线
的斜率
的取值范围.
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【题目】已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且x<0时,f(x)=1+2x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)画出函数f(x)的图像;
(3)写出函数f(x)的单调区间及值域.
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