【题目】已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,证明:对任意的
,
.
【答案】(Ⅰ) 当时,区间
单调递增; 当
时,在区间
上单调递增,在区间
上单调递减; (Ⅱ)证明见解析.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)求函数单调区间,只要求出导数,在定义域内解不等式
得增区间,解不等式
得减区间,由于
中含有参数
,应按
进行分类讨论;(Ⅱ)要证的不等式就是
,为此我们记
,求出它的最小值,证明最小值大于0即可.这可由导数的知识易得.
试题解析:(Ⅰ)函数的定义域是
当时,
对任意
恒成立,
所以,函数在区间
单调递增;
当时,
由得
,由
得
所以,函数在区间上单调递增,在区间
上单调递减。
(Ⅱ)当时,
,要证明
,
只需证明,设
,
则问题转化为证明对任意的,
令得
,
容易知道该方程有唯一解,不妨设为,则
满足
当变化时,
和
变化情况如下表
- | |||
递减 | 递增 |
因为,且
,所以
,因此不等式得证。
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
、
,椭圆上的点
满足
,且
的面积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左、右顶点分别为
、
,过点
的动直线
与椭圆
相交于
、
两点,直线
与直线
的交点为
,证明:点
总在直线
上.
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【题目】已知两条直线l1:ax﹣by+4=0,l2:(a﹣1)x+y+b=0. 求满足下列条件的a,b值.
(Ⅰ)l1⊥l2且l1过点(﹣3,﹣1);
(Ⅱ)l1∥l2且原点到这两直线的距离相等.
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【题目】一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取个作为样本,称出它们的重量(单位:克),重量分组区间为
,
,
,
,由此得到样本的重量频率分布直方图(如图).
(Ⅰ)求的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均值;
(Ⅱ)从盒子中随机抽取个小球,其中重量在
内的小球个数为
,求
的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率).
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【题目】已知等差数列的前三项分别为λ,6,3λ,前n项和为Sn,且Sk=165.
(1)求λ及k的值;
(2)设bn=,且数列
的前n项和Tn,证明:
≤Tn<1.
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【题目】某校高三()班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题.
(1)求全班人数及分数在之间的频数,并估计该班的平均分数;
(2)若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽取的试卷中,求至少有一份分数在
之间的概率.
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【题目】某学校为了解学校食堂的服务情况,随机调查了50名就餐的教师和学生.根据这50名师生对餐厅服务质量进行评分,绘制出了频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组为.
(1)求频率分布直方图中的值;
(2)从评分在的师生中,随机抽取2人,求此人中恰好有1人评分在
上的概率;
(3)学校规定:师生对食堂服务质量的评分不得低于75分,否则将进行内部整顿,试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分,并据此回答食堂是否需要进行内部整顿.
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