【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
、
,椭圆上的点
满足
,且
的面积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左、右顶点分别为
、
,过点
的动直线
与椭圆
相交于
、
两点,直线
与直线
的交点为
,证明:点
总在直线
上.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,已知曲线,将曲线
上的点向左平移一个单位,然后纵坐标不变,横坐标轴伸长到原来的2倍,得到曲线
,又已知直线
(
是参数),且直线
与曲线
交于
两点.
(I)求曲线的直角坐标方程,并说明它是什么曲线;
(II)设定点,求
.
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【题目】我国的高铁技术发展迅速,铁道部门计划在两城市之间开通高速列车,假设列车在试运行期间,每天在
两个时间段内各发一趟由
城开往
城的列车(两车发车情况互不影响),
城发车时间及概率如下表所示:
发车 时间 | ||||||
概率 |
若甲、乙两位旅客打算从城到
城,他们到达
火车站的时间分别是周六的
和周日的
(只考虑候车时间,不考虑其他因素).
(1)设乙候车所需时间为随机变量(单位:分钟),求
的分布列和数学期望
;
(2)求甲、乙两人候车时间相等的概率.
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【题目】抛物线的顶点为坐标原点O,焦点F在
轴正半轴上,准线
与圆
相切.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)已知直线和抛物线
交于点
,命题
:“若直线
过定点(0,1),则
”,
请判断命题的真假,并证明.
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【题目】已知二次函数为常数,
的一个零点是
,函数
是自然对数的底数, 设函数
.
(1)过点坐标原点作曲线
的切线, 证明切点的横坐标为
;
(2)令,若函数
在区间
上是单调函数, 求
的取值范围.
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【题目】已知函数(
),其最小正周期为
.
(1)求在区间
上的减区间;
(2)将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向右平移
个单位,得到函数
的图象,若关于
的方程
在区间
上有且只有一个实数根,求实数
的取值范围.
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