Question

【题目】一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为，，，，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）.

（Ⅰ）求的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；

（Ⅱ）从盒子中随机抽取个小球，其中重量在内的小球个数为，求的分布列和数学期望. （以直方图中的频率作为概率）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），众数20，平均数24.6；（Ⅱ）分布列见解析，期望为．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由频率分布直方图中所有小矩形面积（频率）之和为1，可计算出,众数取频率最大即矩形最高的那个矩形的中点横坐标，平均值用各矩形中点值乘频率相加即得；（Ⅱ）的可能取值为、、、，利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为，因此有，从而可得分布列，最后由期望公式可计算出期望．

试题解析：（Ⅰ）由题意，得，

解得；

又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克）

而个样本小球重量的平均值为：（克）

故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为克；

（Ⅱ）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为

则.的可能取值为、、、，

，，

，.

的分布列为：

.（或者）