Question

【题目】如图，四棱锥的底面是平行四边形，,,,面，设为中点，点在线段上,且．

（1）求证：平面；

（2）设异面直线与的夹角为,若，求的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）2

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由已知条件用余弦定理和勾股定理推导出AB⊥AC．又PA⊥面ABCD，以AB，AC，AP分别为x，y，z轴建立坐标系．利用向量法能求出BE∥平面ACF；（Ⅱ）分别求出面PCD法向量和面ACF的法向量，由，利用向量法能求出PA的长

试题解析：（1）由，得，． 又面，

∴ 以分别为 轴建立坐标系如图．

则 ……2分

设，，则 ．

由得： ．

解得：，，，

所以． ……4分

∴ ,，．

设面的法向量为，则，

取． ……7分

，且面， 平面． ……8分

（2） ，，设与的夹角为

∴ ……11分

即：， ∴， 所以． ……12分