【题目】设数列的前
项和为
已知
(I)设,证明数列
是等比数列;
(II)求数列的通项公式.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
【解析】此题主要考查了等比数列的性质及其前n项和,运用了错位相减法求数列{an}的前n项和,这个方法是高考中常用的方法,同学们要熟练掌握它
(Ⅰ)由题意只要证明bnbn-1
为一常数即可,已知Sn+1=4an+1,推出b1的值,然后继续递推相减,得an+1-2an=2(an-2an-1),从而求出bn与bn-1的关系;
(Ⅱ)根据(Ⅰ){bn}是等比数列,可得bn}的通项公式,从而证得数列{an2n }是首项为1
2 ,公差为1 2 的等差数列,最后利用错位相减法,求出数列{an}的通项公式
解:(I)由及
,有
由,...① 则当
时,有
.....②
②-①得
又,
是首项
,公比为2的等比数列.
(II)由(I)可得,
数列
是首项为
,公差为
的等差数列.
,
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【题目】为了解某地参加2015 年夏令营的名学生的身体健康情况,将学生编号为
,采用系统抽样的方法抽取一个容量为
的样本,且抽到的最小号码为
,已知这
名学生分住在三个营区,从
到
在第一营区,从
到
在第二营区,从
到
在第三营区,则第一、第二、第三营区被抽中的人数分别为( )
A. B.
C. D.
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【题目】已知圆C经过点A(﹣2,0),B(0,2),且圆心C在直线y=x上,又直线l:y=kx+1与圆C相交于P、Q两点.
(1)求圆C的方程;
(2)若=﹣2,求实数k的值;
(3)过点(0,4)作动直线m交圆C于E,F两点.试问:在以EF为直径的所有圆中,是否存在这样的圆P,使得圆P经过点M(2,0)?若存在,求出圆P的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知在锐角△ABC中,两向量p=(2-2sin A,cos A+sin A),q=(sin A-cos A,1+sin A),且p与q是共线向量.
(1)求A的大小;
(2)求函数y=2sin2B+cos()取最大值时,角B的大小.
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【题目】若有穷数列(
是正整数),满足
即
(
是正整数,且
),就称该数列为“对称数列”。例如,数列
与数列
都是“对称数列”.
(1)已知数列是项数为9的对称数列,且
,
,
,
,
成等差数列,
,
,试求
,
,
,
,并求前9项和
.
(2)若是项数为
的对称数列,且
构成首项为31,公差为
的等差数列,数列
前
项和为
,则当
为何值时,
取到最大值?最大值为多少?
(3)设是
项的“对称数列”,其中
是首项为1,公比为2的等比数列.求
前
项的和
.
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【题目】已知中心在坐标原点的椭圆
经过点
,且点
为其右焦点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)是否存在平行于的直线
,使得直线
与椭圆
有公共点,且直线
与
的距离等于4?若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】为了解学生身高情况,某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查,测得身高情况的统计图如下:
(1)估计该校男生的人数;
(2)估计该校学生身高在170~185cm之间的概率;
(3)从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人,求至少有1人身高在185~190cm之间的概率。
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