Question

【题目】已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)不存在．

【解析】试题分析：(Ⅰ)设出椭圆的标准方程，利用椭圆的定义和焦点坐标求出有关参数值，进而得到椭圆的标准方程；(Ⅱ)先假设存在符合题意的直线，并设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用判别式为正和点到直线的距离公式进行求解．

试题解析：（Ⅰ）依题意，可设椭圆的方程为，且可知左焦点为，

从而有，解得，又，∴.

故椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）假设存在符合题意的直线，其方程为.

由得.

∵直线与椭圆有公共点，∴，解得.

另一方面，直线与的距离等于4，可得，从而.

由于，∴符合题意的直线不存在.