Question

【题目】设椭圆方程+=1（a＞b＞0），椭圆上一点到两焦点的距离和为4，过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，AB=2．

（1）求椭圆方程；

（2）若M，N是椭圆C上的点，且直线OM与ON的斜率之积为﹣，是否存在动点P（x0，y0），若=+2，有x02+2y02为定值

Answer 1

【答案】（1）（2）存在这样的点P（x0，y0）

【解析】

试题分析：（1）由已知得2a=4，，由此能求出椭圆方程；（2）存在这样的点P．设M ，N ，由，结合已知条件能推导出存在这样的点P（x0，y0）

试题解析：（1）因为2a=4，所以，a=2，（2分）

∵过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，AB=2．

∴由椭圆的对称性知，椭圆过点（c，1），即，（4分）

c2=4﹣b2，解得b2=2，椭圆方程为．（7分）

（2）存在这样的点P（x0，y0）．设M（x1，y1），N（x2，y2），

则kOMkON==﹣，化简为x1x2+2y1y2=0，（9分）

∵M，N是椭圆C上的点，∴，，

由=，得，（12分）

∵=（x1+2x2）2+（y1+2y2）2

=（）+4（）+4（x1x2+2y1y2）=4+4×4+0=20，

即存在这样的点P（x0，y0）．