【题目】在平面直角坐标系中,已知圆
,圆
.
(1)若过点的直线
被圆
截得的弦长为
,求直线
的方程;
(2)圆是以1为半径,圆心在圆
:
上移动的动圆 ,若圆
上任意一点
分别作圆
的两条切线
,切点为
,求
的取值范围;
(3)若动圆同时平分圆
的周长、圆
的周长,则动圆
是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.
【答案】(1)或
(2)
(3)所求的定点坐标为
【解析】
试题分析:(Ⅰ)设直线l的方程为y=k(+1),根据直线l被圆C2截得的弦长为,利用勾股定理,求出k,即可求直线l的方程;(Ⅱ)动圆D是圆心在定圆
上移动,半径为1的圆,由圆的几何性质得,|DC1|-r≤|PC1|≤|DC1|+r,即2≤|PC1|≤4,4≤|PC1|2≤16,利用向量的数量积公式,即可求
的取值范围;(Ⅲ)确定动圆圆心C在定直线x+y-3=0上运动,求出动圆C的方程,即可得出结论.
试题解析:(1)设直线的方程为
,即
. 因为直线
被圆
截得的弦长为
,而圆
的半径为1,所以圆心
到
:
的距离为
.化简,得
,解得
或
.所以直线
的方程为
或
.
(2) 动圆D是圆心在定圆上移动,半径为1的圆
设,则在
中,
,
有,则
由圆的几何性质得,,即
,
则的最大值为
,最小值为
. 故
(3)设圆心C(x,y),由题意得CC1=CC2,
即,整理得x+y-3=0,即圆心C在定直线x+y-3=0上运动.
设C(m,3-m),
则动圆的半径,
于是动圆C的方程为(x-m)2+(y-3+m)2=1+(m+1)2+(3-m)2,
整理得:x2+y2-6y-2-2m(x-y+1)=0.
由,
解得或
,
即所求的定点坐标为
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【题目】设函数,
.
(1)若函数在
处有极值,求函数
的最大值;
(2)①是否存在实数,使得关于
的不等式
在
上恒成立?若存在,求出
的取值范围;若不存在,说明理由;
②证明:不等式.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知圆
,圆
.
(1)若过点的直线
被圆
截得的弦长为
,求直线
的方程;
(2)圆是以1为半径,圆心在圆
:
上移动的动圆 ,若圆
上任意一点
分别作圆
的两条切线
,切点为
,求
的取值范围;
(3)若动圆同时平分圆
的周长、圆
的周长,则动圆
是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.
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【题目】已知函数(
),其最小正周期为
.
(1)求在区间
上的减区间;
(2)将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得的图象向右平移
个单位,得到函数
的图象,若关于
的方程
在区间
上有且只有一个实数根,求实数
的取值范围.
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【题目】已知等比数列{an}的公比q>1,且满足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=log,Sn=b1+b2+…+bn,求使
成立的正整数n的最大值.
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【题目】设椭圆方程+
=1(a>b>0),椭圆上一点到两焦点的距离和为4,过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A,B两点,AB=2.
(1)求椭圆方程;
(2)若M,N是椭圆C上的点,且直线OM与ON的斜率之积为﹣,是否存在动点P(x0,y0),若
=
+2
,有x02+2y02为定值
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【题目】为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人)
高校 | 相关人数 | 抽取人数 |
A | 18 | |
B | 36 | 2 |
C | 54 |
(Ⅰ)求,
;
(Ⅱ)若从高校抽取的人中选2人作专题发言,求这二人都来自高校
的概率.
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