Question

【题目】已知函数f(x)=aln x+ (a>0).

(1)求函数f(x)的极值;

(2)若对任意的x>0,恒有ax(2-ln x)≤1,求实数a的取值范围;

(3)是否存在实数a,使得函数f(x)在[1,e]上的最小值为0?若存在,试求出a的值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）当x=时,函数f(x)取得极小值,其极小值为f()=aln+a=a-alna；（2）0<a≤；（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）函数求导得， ，结合函数单调性即可得极值；

（2）令，求导得，讨论函数单调性得g(x)的最大值为从而得ae≤1即可得解；

（3）讨论函数单调性求最小值令其为0判断是否成立即可.

试题解析：

由题意知x>0, ,

(1)由得->0,解得x>,所以函数f(x)的单调增区间是(,+∞);

由得-<0,解得x<,所以函数f(x)的单调减区间是(0, ),

∴当x=时,函数f(x)取得极小值,其极小值为f()=aln+a=a-alna.

(2)设,则函数g(x)的定义域为(0,+∞).

.

由g'(x)=0得x=e,由a>0可知,当x∈(0,e)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增;

当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减.

∴函数g(x)的最大值为g(e)=ae(2-ln e)=ae.

要使原不等式ax(2-ln x)≤1(x>0)恒成立,只需g(x)的最大值不大于1即可,即g(e)≤1,也就是ae≤1,解得a≤.

又∵a>0,∴0<a≤.

(3)由(1)可知,当x∈(0, )时,f(x)单调递减,当x∈(,+∞)时,f(x)单调递增,

①若0<<1,即a>1时,函数f(x)在[1,e]上为增函数,故函数f(x)的最小值为f(1)=aln1+1=1,

显然1≠0,故不满足条件.

②若1≤<e,即<a≤1时,函数f(x)在[1, ]上为减函数,在(,e]上为增函数,

故函数f(x)的最小值为f()=aln+a=a-aln a

=a(1-ln a)=0,

即ln a=1,解得a=e,

而e>1,故不满足条件.

③若≥e,即0<a≤时,函数f(x)在[1,e]上的最小值为f(e)=a+=0,解得a=-<0,不满足条件.

综上所述,不存在满足条件的实数a.