【题目】已知函数f(x)=aln x+ (a>0).
(1)求函数f(x)的极值;
(2)若对任意的x>0,恒有ax(2-ln x)≤1,求实数a的取值范围;
(3)是否存在实数a,使得函数f(x)在[1,e]上的最小值为0?若存在,试求出a的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)当x=时,函数f(x)取得极小值,其极小值为f(
)=aln
+a=a-alna;(2)0<a≤
;(3)见解析.
【解析】试题分析:(1)函数求导得,
,结合函数单调性即可得极值;
(2)令,求导得
,讨论函数单调性得g(x)的最大值为
从而得ae≤1即可得解;
(3)讨论函数单调性求最小值令其为0判断是否成立即可.
试题解析:
由题意知x>0, ,
(1)由得
-
>0,解得x>
,所以函数f(x)的单调增区间是(
,+∞);
由得
-
<0,解得x<
,所以函数f(x)的单调减区间是(0,
),
∴当x=时,函数f(x)取得极小值,其极小值为f(
)=aln
+a=a-alna.
(2)设,则函数g(x)的定义域为(0,+∞).
.
由g'(x)=0得x=e,由a>0可知,当x∈(0,e)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增;
当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减.
∴函数g(x)的最大值为g(e)=ae(2-ln e)=ae.
要使原不等式ax(2-ln x)≤1(x>0)恒成立,只需g(x)的最大值不大于1即可,即g(e)≤1,也就是ae≤1,解得a≤.
又∵a>0,∴0<a≤.
(3)由(1)可知,当x∈(0, )时,f(x)单调递减,当x∈(
,+∞)时,f(x)单调递增,
①若0<<1,即a>1时,函数f(x)在[1,e]上为增函数,故函数f(x)的最小值为f(1)=aln1+1=1,
显然1≠0,故不满足条件.
②若1≤<e,即
<a≤1时,函数f(x)在[1,
]上为减函数,在(
,e]上为增函数,
故函数f(x)的最小值为f()=aln
+a=a-aln a
=a(1-ln a)=0,
即ln a=1,解得a=e,
而e>1,故不满足条件.
③若≥e,即0<a≤
时,函数f(x)在[1,e]上的最小值为f(e)=a+
=0,解得a=-
<0,不满足条件.
综上所述,不存在满足条件的实数a.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AP=AB=AD=1.
(Ⅰ)若直线PB与CD所成角的大小为,求BC的长;
(Ⅱ)求二面角B-PD-A的余弦值.
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【题目】已知函数f(x)=x3+x﹣16,
(1)求曲线y=f(x)在点(2,﹣6)处的切线的方程.
(2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=﹣ x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.
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【题目】如图,已知动直线l过点 ,且与圆O:x2+y2=1交于A、B两点.
(1)若直线l的斜率为 ,求△OAB的面积;
(2)若直线l的斜率为0,点C是圆O上任意一点,求CA2+CB2的取值范围;
(3)是否存在一个定点Q(不同于点P),对于任意不与y轴重合的直线l,都有PQ平分∠AQB,若存在,求出定点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,M,N,P分别为AB,A1C1 , BC的中点.
求证:
(1)C1P∥平面MNC;
(2)平面MNC⊥平面ABB1A1 .
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【题目】已知等差数列{an}和等比数列{bn},其中{an}的公差不为0.设Sn是数列{an}的前n项和.若a1 , a2 , a5是数列{bn}的前3项,且S4=16.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若数列{ }为等差数列,求实数t;
(3)构造数列a1 , b1 , a2 , b1 , b2 , a3 , b1 , b2 , b3 , …,ak , b1 , b2 , …,bk , …,若该数列前n项和Tn=1821,求n的值.
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【题目】如图,GH是东西方向的公路北侧的边缘线,某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建设一仓库,设AB=ykm,并在公路北侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF(其中EF在GH上),现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB,AC,已知AB=AC+1,且∠ABC=60°..
(1)求y关于x的函数解析式,并求出定义域;
(2)如果中转站四堵围墙造价为10万元/km,两条道路造价为30万元/km,问:x取何值时,该公司建设中转站围墙和两条道路总造价M最低.
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【题目】将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次,记第一次出现的点数为x,第二次出现的点数为y.
(1)求事件“x+y≤3”的概率;
(2)求事件“|x﹣y|=2”的概率.
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