Question

如图，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

1

2

，短轴的一个顶点与两个焦点构成面积为

3

的三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点P（1，1）做两条倾斜角分别为a₁，a₂的不同的直线l₁，l₂，分别交椭圆与A，B，C，D，且|PA|•|PB|=|PC|•|PD|，求证：a₁+a₂=180°．

Answer 1

分析：（1）由题意得出关于参数a，b，c的方程组，解之得a，b，c的值，最后写出椭圆的方程即可；
（2）设过点P（1，1）做两条倾斜角分别为a₁，a₂的不同的直线l₁，l₂，的参数方程分别为：l₁：

x=1+tcosα 1 y=1=tsinα 1

；l₂：

x=1+tcosα 2 y=1=tsinα 2

．将直线l₁：的参数方程代入椭圆方程结合参数t的几何意义得：|PA|•|PB|=-t₁t₂=-

1

cos 2a 1+4sin  2a 1

，同理得：|PC|•|PD|=-

1

cos 2a 2+4sin 2a 2

．最后利用|PA|•|PB|=|PC|•|PD|，即可得到a₁+a₂=180°．

解答：解：（1）由题意得：

c a = 1 2 bc= 3 a2=b2+c 2

 解之得：

a=2 c=1 b= 3

∴椭圆的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设过点P（1，1）做两条倾斜角分别为a₁，a₂的不同的直线l₁，l₂，的参数方程分别为：
l₁：

x=1+tcosα 1 y=1=tsinα 1

；l₂：

x=1+tcosα 2 y=1=tsinα 2

．
将直线l₁：的参数方程代入椭圆方程得：
3（1+tcosa₁）²+4（1+tsina₁）²-12=0，
化简整理得：（3cos²a₁+4sin²a₁）t²+（6cosa₁+8sina₁）t-5=0，
根据参数t的几何意义得：|PA|•|PB|=-t₁t₂=-

5

3cos 2a 1+4sin 2a 1

，
同理得：|PC|•|PD|=-

5

3cos 2a 2+4sin 2a 2

．
由于|PA|•|PB|=|PC|•|PD|，故有：

5

3cos 2a 1+4sin 2a 1

=

5

3cos 2a 2+4sin 2a 2

，
∴cos²a₁=cos²a₂，sin²a₁=sin²a₂
∴a₁+a₂=180°．

点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、直线的参数方程、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．