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如图所示,椭圆C:
 x2   
b2
+
y2    
a2
=1(a>b>0)
的焦点为F1(0,c),F2(0,-c)(c>0),抛物线x2=2py(p>0)的焦点与F1重合,过F2的直线l与抛物线P相切,切点在第一象限,且与椭圆C相交于A,B两点,且
F2B
AF2

(1)求证:切线l的斜率为定值;
(2)当λ∈[2,4]时,求椭圆的离心率e的取值范围.
分析:(1)设过F2的直线l的方程为y+c=kx,与抛物线联立,利用过F2的直线l与抛物线P相切,切点E在第一象限,可得结论;
(2)由(1),可得直线l的方程为y=x-c,代入椭圆方程,利用韦达定理及向量知识,确定离心率的表达式,即可得到结论.
解答:(1)证明:∵椭圆C:
 x2   
b2
+
y2    
a2
=1(a>b>0)
的焦点为F1(0,c),F2(0,-c)(c>0),抛物线P:x2=2py(p>0)的焦点与F1重合,
p
2
=c
,∴抛物线P:x2=4cy.
设过F2的直线l的方程为y+c=kx,与抛物线联立,可得x2-4kcx+4c2=0,
∵过F2的直线l与抛物线P相切,切点E在第一象限,
∴△=16k2c2-16c2=0,k>0
∴k=1,即切线l的斜率为定值;
(2)解:由(1),可得直线l的方程为y=x-c,代入椭圆方程可得(a2+b2)x2-2b2cx+b2c2-a2b2=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=
2b2c
a2+b2
①,x1x2=
b2(c2-a2)
a2+b2

F2B
AF2

∴x2=-λx1
由①②③可得
e2
2-e2
=
1
4
(λ+
1
λ
)-
1
2

∵f(λ)=
1
4
(λ+
1
λ
)-
1
2
,当λ∈[2,4]时,单调递增,
∴f(λ)∈[
1
8
9
16
]

1
8
e2
2-e2
9
16

∵0<e<1
∴椭圆的离心率e的取值范围是[
2
3
3
2
5
].
点评:本题考查切线斜率为定值的求法,考查椭圆离心率取值范围的求法,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图所示,椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,短轴两个端点为A、B.已知|
OB
|
|
F1B
|
|F1F2
|
成等比数列,|
F1B
|
-
|F1F2
|
=2,与x轴不垂直的直线l与C交于不同的两点M、N,记直线AM、AN的斜率分别为k1、k2,且k1•k2=
3
2

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求证直线l与y轴相交于定点,并求出定点坐标;
(Ⅲ)当弦MN的中点P落在四边形F1AF2B内(包括边界)时,求直线l的斜率的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图所示,椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率e=
2
2
,左焦点为F1(-1,0),右焦点为F2(1,0),短轴两个端点为A、B.与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N,记直线AM、AN的斜率分别为k1、k2,且k1k2=
3
2

(1)求椭圆C的方程;
(2)求证直线l与y轴相交于定点,并求出定点坐标.
(3)当弦MN的中点P落在△MF1F2内(包括边界)时,求直线l的斜率的取值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图所示,椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的一个焦点为 F(1,0),且过点(
2
6
2
)

(1)求椭圆C的方程;
(2)已知A、B为椭圆上的点,且直线AB垂直于x轴,直线l:x=4与x轴交于点N,直线AF与BN交于点M.
(ⅰ)求证:点M恒在椭圆C上;
(ⅱ)求△AMN面积的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2010•茂名二模)如图所示,椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
2
5
5
,且A(0,1)是椭圆C的顶点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点A作斜率为1的直线l,在直线l上求一点M,使得以椭圆C的焦点为焦点,且过点M的双曲线E的实轴最长,并求此双曲线E的方程.

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