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(2010•茂名二模)如图所示,椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
2
5
5
,且A(0,1)是椭圆C的顶点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点A作斜率为1的直线l,在直线l上求一点M,使得以椭圆C的焦点为焦点,且过点M的双曲线E的实轴最长,并求此双曲线E的方程.
分析:(1)根据A(0,1)是椭圆C的顶点得a值,根据离心率为
2
5
5
,求出b值,从而求椭圆C的方程;
(2)欲求双曲线E的方程,只须求出其实轴长即可,而要使双曲线E的实轴最长,只需||MF1|-|MF2||最大即可,根据对称性知,直线F2F1′与直线l的交点即为所求的点M即能使||MF1|-|MF2||最大,从而问题解决.
解答:解:(1)由题意可知,b=1(1分)
∵e=
c
a
=
2
5
5

c2
a2
=
a2-1
a2
=
4
5
∴a2=5(3分)
∴所以椭圆C的方程为:
x2
5
+y2=1
(4分)
(2)设椭圆C的焦点为F1,F2
则可知F1(-2,0),F2(2,0),
直线l方程为:x-y+1=0(6分)
因为M在双曲线E上,所以要使双曲线E的实轴最长,
只需||MF1|-|MF2||最大.
又∵F1(-2,0)关于直线l:x-y+1=0的对称点为F′1(-1,-1),
则直线F2F1′与直线l的交点即为所求的点M(9分)
∵直线F2F1′的斜率为k=
1
3
,其方程为:y=
1
3
(x-2)
y=
1
3
(x-2)
x-y+1=0
解得
x=-
5
2
y=-
3
2

∴M(-
5
2
,-
3
2
)(12分)
又2a′=||MF1|-|MF2||=||MF1′|-|MF2||≤|F2F1′|=
(2+1)2+12
=
10

∴a′max=
1
2
10
,此时b′=
1
2
6

故所求的双曲线方程为
x2
5
2
-
y2
3
2
=1.(14分)
点评:本题主要考查了椭圆的标准方程、双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题.直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等   突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法.
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4
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)
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4
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