Question

13．已知平面向量$\overrightarrow{α}$，$\overrightarrow{β}$（$\overrightarrow{α}$≠$\overrightarrow{β}$）满足|$\overrightarrow{α}$|=$\sqrt{3}$且$\overrightarrow{α}$与$\overrightarrow{β}$-$\overrightarrow{α}$的夹角为150°，则|m$\overrightarrow{α}$+（1-m）$\overrightarrow{β}$|的取值范围是$[\frac{{\sqrt{3}}}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 如图所示，不妨设$\overrightarrow{α}$=（$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{β}$.$\overrightarrow{α}$与$\overrightarrow{β}$-$\overrightarrow{α}$的夹角为150°，可得∠OAB=30°．由于$\overrightarrow{OC}$=$m\overrightarrow{α}$+（1-m）$\overrightarrow{β}$．可知：点C在直线AB上，当且仅当OC⊥AB时，$|\overrightarrow{OC}|$取得最小值，即可得出．

解答 解：如图所示
不妨设$\overrightarrow{α}$=（$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{β}$．
$\overrightarrow{OC}$=$m\overrightarrow{α}$+（1-m）$\overrightarrow{β}$．
∵$\overrightarrow{α}$与$\overrightarrow{β}$-$\overrightarrow{α}$的夹角为150°，
∴∠OAB=30°．
由于$\overrightarrow{OC}$=$m\overrightarrow{α}$+（1-m）$\overrightarrow{β}$．
可知：点C在直线AB上，
当且仅当OC⊥AB时，$|\overrightarrow{OC}|$取得最小值，此时$|\overrightarrow{OC}|$=$|\overrightarrow{OA}|sin3{0}^{°}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴|m$\overrightarrow{α}$+（1-m）$\overrightarrow{β}$|的取值范围是$[\frac{{\sqrt{3}}}{2}，+∞）$．
故答案为：$[\frac{{\sqrt{3}}}{2}，+∞）$．

点评 本题考查了向量的夹角、直角三角形的边角关系、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．