Question

9．已知数列{a_n}满足a_n+1=$\frac{2016{a}_{n}}{2014{a}_{n}+2016}$（n∈N₊），a₁=1，则a₂₀₁₇=$\frac{1008}{1007×2017+1}$．

Answer 1

分析 通过对a_n+1=$\frac{2016{a}_{n}}{2014{a}_{n}+2016}$两边同时取倒数可知$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1007}{1008}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，进而可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1、公差为$\frac{1007}{1008}$的等差数列，计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{2016{a}_{n}}{2014{a}_{n}+2016}$（n∈N₊），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2014{a}_{n}+2016}{2016{a}_{n}}$=$\frac{1007}{1008}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1、公差为$\frac{1007}{1008}$的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1007}{1008}$（n-1）=$\frac{1007n+1}{1008}$，
∴a_n=$\frac{1008}{1007n+1}$，
∴a₂₀₁₇=$\frac{1008}{1007×2017+1}$，
故答案为：$\frac{1008}{1007×2017+1}$．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．