Question

1．已知sin（30°-α）=$\frac{1}{3}$，求$\frac{1}{tan（30°-α）}$+$\frac{cos（60°+α）}{1+sin（60°+α）}$的值．

Answer 1

分析 由题意和同角三角函数基本关系可得cos（30°-α）和$\frac{1}{tan（30°-α）}$的值，再由诱导公式可得原式=$\frac{1}{tan（30°-α）}$+$\frac{sin（30°-α）}{1+cos（30°-α）}$，代值计算可得．

解答 解：∵sin（30°-α）=$\frac{1}{3}$，∴cos（30°-α）=±$\sqrt{1-si{n}^{2}（30°-α）}$=±$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
当cos（30°-α）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，时，$\frac{1}{tan（30°-α）}$=$\frac{cos（30°-α）}{sin（30°-α）}$=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{tan（30°-α）}$+$\frac{cos（60°+α）}{1+sin（60°+α）}$=2$\sqrt{2}+$$\frac{cos[90°-（30°-α）]}{1+sin[90°-（30°-α）]}$
=2$\sqrt{2}$+$\frac{sin（30°-α）}{1+cos（30°-α）}$=2$\sqrt{2}$+3-2$\sqrt{2}$=3；
当cos（30°-α）=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，时，$\frac{1}{tan（30°-α）}$=$\frac{cos（30°-α）}{sin（30°-α）}$=-2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{tan（30°-α）}$+$\frac{cos（60°+α）}{1+sin（60°+α）}$=2$\sqrt{2}+$$\frac{cos[90°-（30°-α）]}{1+sin[90°-（30°-α）]}$
=-2$\sqrt{2}$+$\frac{sin（30°-α）}{1+cos（30°-α）}$=-2$\sqrt{2}$+3+2$\sqrt{2}$=3；
综上可得$\frac{1}{tan（30°-α）}$+$\frac{cos（60°+α）}{1+sin（60°+α）}$=3

点评 本题考查三角函数化简求值，涉及同角三角函数基本关系和诱导公式，涉及分类讨论的思想，属中档题．