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已知函数f(x)x2bxc(bcR),对任意的xR,恒有f′(x)≤f(x)

(1)证明:当x≥0时,f(x)≤(xc)2

(2)若对满足题设条件的任意bc,不等式f(c)f(b)≤M(c2b2)恒成立,求M的最小值.

 

1)见解析(2

【解析】(1)易知f′(x)2xb.由题设,对任意的xR2xbx2bxc,即x2(b2)xcb≥0恒成立,所以(b2)24(cb)≤0,从而c1.于是c≥1

c≥2 |b|,因此2cbc(cb)0.

故当x≥0时,有(xc)2f(x)(2cb)xc(c1)≥0.即当x≥0时,f(x)≤(xc)2.

(2)(1)c≥|b|.c|b|时,有M.

t,则-1t12.

而函数g(t)2 (1t1)的值域是.

因此,当c|b|时,M的取值集合为.

c|b|时,由(1)b±2c2.此时f(c)f(b)=-80c2b20,从而f(c)f(b)≤(c2b2)恒成立.综上所述,M的最小值为.

 

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