Question

已知a为实数，f（x）=（x²-4）（x-a）．
（1）若f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围．
（2）若函数g（x）=f（x）+ax²在定义域内有三个零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）原条件等价于∈（-∞，-2]时，f'（x）=3x²-2ax-4≥0，即：a≥

3x2-4

2x

恒成立；且x∈[2，+∞）时，f'（x）=3x²-2ax-4≥0，即：a≤

3x2-4

2x

也恒成立．求出右边的最值，即可；
（2）求出g（x）的导数，求出单调区间和极值，原条件等价为极大值大于0且极小值小于0，解出不等式即可．

解答： 解：（1）∵f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）上都是递增的，
∴x∈（-∞，-2]时，f'（x）=3x²-2ax-4≥0，即：a≥

3x2-4

2x

恒成立；
且x∈[2，+∞）时，f'（x）=3x²-2ax-4≥0，即：a≤

3x2-4

2x

也恒成立；
令g(x)=

3x2-4

2x

=

1

2

(3x-

4

x

)，则x∈（-∞，-2]时，g（x）为增函数，
g（x）_max=-2；x∈[2，+∞）时，g（x）为增函数，g（x）_min=2
∴-2≤a≤2，故a的取值范围为[-2，2]．
（2）∵g（x）=f（x）+ax²=x³-4x+4a，得g'（x）=3x²-4，
令g′（x）=0，得x=±

2 3

3

，
当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表：

x	(-∞，- 2 3 3 )	- 2 3 3	(- 2 3 3 ， 2 3 3 )	2 3 3	( 2 3 3 ，+∞)
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴g(x)极大值=g(-

2 3

3

)=

16 3

9

+4a
∴g(x)极小值=g(-

2 3

3

)=-

16 3

9

+4a
∵g（x）在R上有三个零点，则∴

g(x)极大值＞0 g(x)极小值＜0

即

16 3 9 +4a＞0 - 16 3 9 +4a＜0

∴-

4 3

9

＜a＜

4 3

9

．

点评：本题考查导数的综合应用：求单调区间和求极值，考查分离参数和函数方程的转化思想，考查运算能力，属于中档题．