Question

【题目】已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若在区间上的最大值为，求的值；

（3）若，有不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）在上是增函数，在上是减函数；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：(1)先求函数的定义域，再求函数的导数，解不等式与可求函数的单调递减区间与单调递增区间；（2）因为，，分与分别讨论函数的单调性求其最值即可；（3）时恒成立等价于，令，求函数的导数，研究在单调性，求其最小值，由求这即可.

试题解析： （1）易知定义域为，

，令，得，

当时，；当时，，

所以在上是增函数，在上是减函数．

（2）因为，，，

①若，则，从而在上是增函数，

∴，不合题意；

②若，则由，即，若，在上是增函数，由①知不合题意，

由，即．

从而在上是增函数，在上为减函数，

∴，

令，所以，因为，所以所求的．

（3）因为时恒成立，所以，

令，∴恒大于0，所以在为增函数，

∴，∴．