Question

【题目】已知函数f（x）=alnx+ ， g（x）=x+lnx，其中a＞0，且x∈（0，+∞）．
（1）若a=1，求f（x）的最小值；
（2）若对任意x≥1，不等式f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围；

Answer 1

【答案】解：（1）a=1时，f（x）=lnx+，f′（x）=，
∴f′（x）＜0，可得0＜x＜1，f′（x）＞0，可得x＞1，
∴函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴x=1时，f（x）的最小值为1；
（2）对任意x≥1，不等式f（x）≤g（x）恒成立，即h（x）=f（x）﹣g（x）=（a﹣1）lnx+﹣x≤0恒成立，
∴h′（x）=﹣
0＜a≤3时，△≤0，则h′（x）≤0，即h（x）在[1，+∞）上单调递减，
∵h（1）=0，∴h（x）≤h（1）=0恒成立；
a＞3时，x2﹣（a﹣1）x+1=0的两根满足0＜x1＜1＜x2 ，
∴x∈（x2 ， +∞）时，x2﹣（a﹣1）x+1＞0，则h′（x）＞0，即h（x）在（x2 ， +∞）上单调递增，
∵h（1）=0，∴存在x∈（x2 ， +∞）使得h（x）＞h（1）=0，不合题意，
综上，0＜a≤3
【解析】（1）求导数，确定函数的单调性，即可求f（x）的最小值；
（2）对任意x≥1，不等式f（x）≤g（x）恒成立，即h（x）=f（x）﹣g（x）=（a﹣1）lnx+﹣x≤0恒成立，对a分类讨论，确定函数的单调性，即可求实数a的取值范围.