Question

18．函数f（x）=$\frac{ax+b}{1+{x}^{2}}$是定义在区间（-1，1）上的奇函数，且f（2）=$\frac{2}{5}$，
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义法证明f（x）在区间（-1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）=$\frac{ax+b}{1+{x}^{2}}$是定义在区间（-1，1）上的奇函数，且f（2）=$\frac{2}{5}$，求出a，b的值，可得函数f（x）的解析式；
（2）证法一：设任意-1＜x₁＜x₂＜1，求出f（x₁）-f（x₂），并判断符号，进而根据函数单调性的定义得到f（x）在区间（-1，1）上是增函数；
证法二：求导，并分析出当x∈（-1，1）时，f′（x）＞0恒成立，进而得到f（x）在区间（-1，1）上是增函数
（3）不等式f（t-1）+f（t）＜0可化为：-1＜t-1＜-t＜1，解得答案．

解答 （本题满分15分）
解：（1）∵函数f（x）=$\frac{ax+b}{1+{x}^{2}}$是定义在区间（-1，1）上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴$\frac{-ax+b}{1+{x}^{2}}$=-$\frac{ax+b}{1+{x}^{2}}$，
∴b=-b，
∴b=0--------------------------------------------（2分）
又∵f（2）=$\frac{2a}{5}$=$\frac{2}{5}$，-------------------------（3分）
∴a=1，
∴函数f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$---------------------------------（5分）
（2）证法一：设任意-1＜x₁＜x₂＜1，--------------------（6分）
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{1+{{x}_{1}}^{2}}$-$\frac{{x}_{2}}{1+{{x}_{2}}^{2}}$------------------------（7分）
=$\frac{{（{x}_{1}-x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}$--------------------------------（9分）
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在区间（-1，1）上是增函数---------------------（10分）
证法二：∵函数f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$，
∴f′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{（1+{x}^{2}）^{2}}$，------------------------（8分）
当x∈（-1，1）时，
f′（x）＞0恒成立，--------------------------------（9分）
∴f（x）在区间（-1，1）上是增函数---------------------（10分）
（3）：由题意知f（t-1）+f（t）＜0
∴f（t-1）＜-f（t）--------------（11分）
∴f（t-1）＜f（-t）--------------------------------------（12分）
∴-1＜t-1＜-t＜1--------------------------------------（14分）
∴0＜t＜$\frac{1}{2}$---------------------------------------------（15分）

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，利用导数研究函数的单调性，难度中档．