Question

8．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F₁（-2，0）、F₂（2，0）点P（$\sqrt{3}$，1）在双曲线C上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）记O为坐标原点，过点Q （0，2）的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为2$\sqrt{2}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）根据题意可得a²+b²=4，得到a和b的关系，把点P（$\sqrt{3}$，1）代入双曲线方程，求得a，进而根据a²+b²=4求得b，双曲线方程可得；
（2）可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，根据直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F，进而可得k的范围，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），根据韦达定理可求得x₁+x₂和x₁x₂，进而表示出|EF|和原点O到直线l的距离根据三角形OEF的面积求得k，进而可得直线方程．

解答 解：（1）依题意，由c²=a²+b²=4，
得双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{4-{a}^{2}}$=1（0＜a²＜4），
将点（$\sqrt{3}$，1）代入上式，得$\frac{3}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{4-{a}^{2}}$=1．
解得a²=2或a²=6（舍去），
故所求双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，
得（1-k²）x²-4kx-6=0．
∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-{k}^{2}≠0}\\{△=（-4k）^{2}+4×6（1-{k}^{2}）＞0}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{k≠±1}\\{-\sqrt{3}＜k＜\sqrt{3}}\end{array}\right.$∴k∈（-$\sqrt{3}$，-1）∪（1，$\sqrt{3}$）．
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则由①式得x₁+x₂=$\frac{4k}{1-{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{6}{1-{k}^{2}}$，
于是，|EF|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{4k}{1-{k}^{2}}）^{2}+\frac{24}{1-{k}^{2}}}$，
而原点O到直线l的距离d=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S_△OEF=$\frac{1}{2}$d•|EF|=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{4k}{1-{k}^{2}}）^{2}+\frac{24}{1-{k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}•\sqrt{3-{k}^{2}}}{|1-{k}^{2}|}$，
若S_△OEF=$\frac{2\sqrt{2}•\sqrt{3-{k}^{2}}}{|1-{k}^{2}|}$=2$\sqrt{2}$?k⁴-k²-2=0，
解得k=±$\sqrt{2}$，满足判别式大于0．
故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=$\sqrt{2}$x+2和y=-$\sqrt{2}$x+2．

点评 本题主要考查了双曲线的方程和双曲线与直线的关系．考查了学生综合运算能力．