Question

20．在y=3^x，y=log_0.3x，y=x³，y=$\sqrt{x}$，这四个函数中当0＜x₁＜x₂＜1时，使f$（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$＜$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$恒成立的函数的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由题意，根据条件0＜x₁＜x₂＜1时，使f$（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$＜$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$恒成立得出满足条件的函数的性质，再对照四个函数的性质即可找出满足条件的函数的个数．

解答 解：当0＜x₁＜x₂＜1时，使f$（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$＜$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$恒成立，从图象上看，是图象上任意两点的连线的中点的函数值在两点的中点的函数值的曲线的上方．满足这样的函数称作凹函数．
考查四个函数y=3^x，y=log_0.3x，y=x³，y=$\sqrt{x}$的图象可得，y=$\sqrt{x}$在（0，1）符合任意两点间的曲线在两点间线段的上方，是凸函数；而y=2^x，y=x³，y=log_0.3x这3个函数都是凹函数，符合题意．
综上分析知，满足条件的函数有3个．
故选：C．

点评 本题考查函数单调性的性质，解答的关键是理解四个函数的性质及对题设中条件“当0＜x₁＜x₂＜1时，使f$（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$＜$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$恒成立”的转化，本题考查了转化的思想，本题需要研究函数变化率的变化规律，有一定的难度．