Question

11．已知函数f（x）=$\frac{x}{{1+{x^2}}}$是定义在（-1，1）上的函数．
（1）利用奇偶性的定义，判断函数f（x）的奇偶性；
（2）证明函数f（x）在（-1，1）上是增函数．（提示：-1＜x₁x₂＜1）

Answer 1

分析 （1）由已知中函数解析式，结合函数奇偶性的定义，可得答案．
（2）证法一：设任意-1＜x₁＜x₂＜1，求出f（x₁）-f（x₂），并判断符号，进而根据函数单调性的定义得到f（x）在区间（-1，1）上是增函数；
证法二：求导，并分析出当x∈（-1，1）时，f′（x）＞0恒成立，进而得到f（x）在区间（-1，1）上是增函数

解答 （1）解：由题设知，函数f（x）的定义域关于原点对称，$f（-x）=\frac{-x}{{1+{{（-x）}^2}}}=-\frac{x}{{1+{x^2}}}=-f（x）$
所以函数f（x）为奇函数．
（2）证法一：设x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{x_1}{{1+{x_1}^2}}-\frac{x_1}{{1+{x_1}^2}}$=$\frac{{{x_1}（1+{x_2}^2）-{x_2}（1+{x_1}^2）}}{{（1+{x_1}^2）（1+{x_2}^2）}}$=$\frac{{（{x_1}-{x_2}）（1-{x_1}{x_2}）}}{{（1+{x_1}^2）（1+{x_2}^2）}}$
因为 x₁＜x₂，-1＜x₁x₂＜1
所以x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0
所以 f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
所以函数f（x）在（-1，1）上是增函数．
证法二：∵函数f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$，
∴f′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{（1+{x}^{2}）^{2}}$，
当x∈（-1，1）时，
f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在区间（-1，1）上是增函数．

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，利用导数研究函数的单调性，难度中档．