Question

15．已知函数f（x）=$\frac{1}{x^2}$+alnx（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）已知不等式f（x）＞0在（0，1）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）分离参数a，令$g（x）=-\frac{1}{{{x^2}lnx}}\;，\;x∈（0，1）$，求出函数的导数，从而求出g（x）的最小值，得到a的范围即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域为$（0，+∞），f'（x）=\frac{{a{x^2}-2}}{x^3}$，
①当a≤0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；
②$当a＞0时，f（x）在（0，\sqrt{\frac{2}{a}}）上单调递减，在（\sqrt{\frac{2}{a}}，+∞）上单调递增$．
（2）$f（x）＞0在（0，\;1）上恒成立?a＜-\frac{1}{{{x^2}lnx}}在（0，1）恒成立?a＜{（-\frac{1}{{{x^2}lnx}}）_{min}}$，
令$g（x）=-\frac{1}{{{x^2}lnx}}\;，\;x∈（0，1）$，
则$g'（x）=\frac{2lnx+1}{{{x^3}{{ln}^2}x}}$，
当$x∈（0，{e^{-\frac{1}{2}}}）时g'（x）＜0，当x∈（{e^{-\frac{1}{2}}}，1）时g'（x）＞0$，
所以，$g（x）在（0，{e^{-\frac{1}{2}}}）递增，在（{e^{-\frac{1}{2}}}，1）递减$，
所以，$g{（x）_{min}}=g（{e^{-\frac{1}{2}}}）=2e$．
因此，a＜2e．即实数a的取值范围是（-∞，2e）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．