Question

4．如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=$\frac{π}{2}$，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2BG=2．
（1）证明：AG∥平面BDE；
（2）求二面角E-BD-G的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意以C为原点，CD，CB，CE分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AG∥平面BDE．
（Ⅱ）求出平面BDG的一个法向量和平面BDE的一个法向量，利用向量法能求出二面角E-BD-G的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）由平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE?平面BCEG，
∴EC⊥平面ABCD．…（2分）
根据题意以C为原点，CD，CB，CE分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（0，2，0），D（2，0，0），E（0，0，2），A（2，1，0）G（0，2，1）…．（2分）
设平面BDE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{EB}=（0，2，-2）$，$\overrightarrow{ED}$=（2，0，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{EB}•\overrightarrow{m}=y-z=0}\\{\overrightarrow{ED}•\overrightarrow{m}=x-z=0}\end{array}\right.$，∴x=y=z，
∴平面BDE的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），…..（4分）
∵$\overrightarrow{AG}$=（-2，1，1），∴$\overrightarrow{AG}•\overrightarrow{m}$=-2+1+1=0，∴$\overrightarrow{AG}$⊥$\overrightarrow{n}$，
∵AG?平面BDE，
∴AG∥平面BDE．…．（5分）
解：（Ⅱ）设平面BDG的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），…．（6分）
∵$\overrightarrow{BD}$=（2，-2，0），$\overrightarrow{BG}$=（0，0，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=2x-2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BG}=z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得平面BDG的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），…．（7分）
设二面角E-BD-G的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{3}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，…．（9分）
故二面角E-BD-G的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$…．（10分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．