Question

15．若f（n）=1+$\frac{1}{{\sqrt{2}}}$+$\frac{1}{{\sqrt{3}}}$+…+$\frac{1}{{\sqrt{n}}}$，n∈N，当n≥3时，证明：f（n）＞$\sqrt{n+1}$．

Answer 1

分析 利用数学归纳法的证明步骤，即可证明结论．

解答 证明：①n=3时，结论成立；
②假设n=k（k∈N，k≥3）时，不等式成立，即f（k）＞$\sqrt{k+1}$，
则n=k+1时，f（k+1）＞$\sqrt{k+1}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$=$\frac{k+2}{\sqrt{k+1}}$＞$\frac{k+2}{\sqrt{k+2}}$=$\sqrt{k+2}$，
即n=k+1时，不等式成立，
由①②可知当n≥3时，f（n）＞$\sqrt{n+1}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．