Question

5．有甲、乙两种商品，经营这两种商品所能获得的利润分别为p（单位：万元）和q（单位：万元），它们与投入资金M（单位：万元）的关系有近似满足下列公式，p=$\frac{1}{5}$M，Q=$\frac{3}{5}$$\sqrt{M}$．现有a（a＞0）万元资金投入经营两种商品，为获得最大的利润，应对这两种商品分别投入资金多少万元？获得的最大利润是多少万元？

Answer 1

分析 设对甲、乙两种商品的资金投入分别为a-x，x万元，设获取利润为s，则s=$\frac{1}{5}$（a-x）+$\frac{3}{5}$$\sqrt{x}$，分类讨论，求s的最大值，并求出此时x的值．

解答 解：设对甲、乙两种商品的资金投入分别为a-x，x万元，设获取利润为s，
则s=$\frac{1}{5}$（a-x）+$\frac{3}{5}$$\sqrt{x}$，
设$\sqrt{x}$=t（0＜t≤$\sqrt{a}$），s=$\frac{1}{5}$（a-t²）+$\frac{3}{5}$t=-$\frac{1}{5}$（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{20}$+$\frac{1}{5}$a，
∴$\sqrt{a}$＜$\frac{3}{2}$，即a＜$\frac{9}{4}$时，t=$\sqrt{a}$，x=a，a-x=0最大利润是$\frac{3}{5}\sqrt{a}$万元；
$\sqrt{a}$≥$\frac{3}{2}$，即a≥$\frac{9}{4}$时，t=$\frac{3}{2}$，x=$\frac{9}{4}$，a-x=a-$\frac{9}{4}$最大利润是$\frac{9}{20}$+$\frac{1}{5}$a万元．

点评 本题考查了二次根式在实际问题中的运用．关键是根据题意列方程，分类讨论，利用配方法求解．