Question

20．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，f′（x）是其导函数，若 $\frac{f（x）}{f′（x）}$＞x，则下列不等关系成立的是（　　）

• A． f（2）＜2f（1）
• B． 3f（2）＞2f（3）
• C． ef（e）＜f（e²）
• D． ef（e²）＞f（e³）

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求导g′（x）=$\frac{f′（x）x-f（x）}{{x}^{2}}$，从而可判断函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，从而得到答案．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，故g′（x）=$\frac{f′（x）x-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，f′（x）是其导函数，
∴f′（x）＜0，
∵$\frac{f（x）}{f′（x）}$＞x，
∴xf′（x）-f（x）＞0，
∴函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，
故$\frac{f（3）}{3}$＞$\frac{f（2）}{2}$＞$\frac{f（1）}{1}$，$\frac{f（{e}^{3}）}{{e}^{3}}$＞$\frac{f（{e}^{2}）}{{e}^{2}}$＞$\frac{f（e）}{e}$，
故2f（3）＞3f（2），f（2）＞2f（1），
f（e³）＞ef（e²），ef（e）＜f（e²）；
故选C．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的性质的判断与应用．