Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点。
（1）求证：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；
（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。

Answer 1

解：（1）连BD，设AC交BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD。 以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O-xyz， 设底面边长为2，则高， 所以， ∴， ∴，故OC⊥SD，即AC⊥SD。 （2）由题意知，平面PAC的一个法向量， 平面DAC的一个法向量为， 设所求的二面角为θ， 则， 所求二面角的大小为30°。 （3）在棱SC上存在一点E使BE∥面PAC， 由（2）知是平面PAC的一个法向量， 且，， 设， 则， 而， 从而SE：EC=2：1时，， 又BE不在平面PAC内， 故BE∥面PAC。