Question

（2007•崇明县一模）某地区从2007年开始通过投资绿色生态环境建设，以此发展旅游产业．已知2007年投入8000万元，旅游收入1250万元左右．根据规划，从2008年起投入将逐年减少，比上一年少投入1000万元，但确保每年投入不少于2000万元；预计今后每年的旅游收入会比上年增长25%．
（1）设第n年（2007年为第1年）内的投入为a_n万元，旅游收入为b_n万元，写出a_n与b_n的表达式；
（2）从2007年算起，至少经过多少年，该地区旅游业的总收入才能超过总投入？

Answer 1

分析：（1）分别写出第1年到第7年的投入量，第7年以后的投入量，从而利用分段函数求出n年内的总投入量a_n，再由第1年旅游业收入为1250万元，第2年旅游业收入为1250×（1+

1

4

）万元，归纳出第n年旅游业收入为1250×（1+

1

4

）^n-1万元．从而得出n年内的旅游业总收入b_n．
（2）先设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由S_n＞T_n，解得n的取值范围即可．

解答：解：（1）an=

8000-(n-1)1000  &(1≤n≤7) 2000 ，& &(n＞8)

（4分）
bn=1250×(

5

4

)n-1（8分）
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}的前n项和为T_n
则Sn=

-500n2+8500n  &(1≤n≤7) 21000+2000n  & &(n＞8)

（2分）Tn=5000[(

5

4

)n-1]（4分）
由S_n＞T_n，由计算器算得n≥10，即至少经过10年，该地区旅游业的总收入才能超过总投入．                                                           （6分）

点评：本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．