Question

17、数列{a_n}中，已知a₁=1，a₂=2，若对任意正整数n，有a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，且a_n+1a_n+2≠1，则该数列的前2010项和S₂₀₁₀=（　　）

A、2010

B、4020

C、3015

D、-2010

Answer 1

分析：分别表示出a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，a_n+1a_n+2a_n+3=a_n+1+a_n+2+a_n+3，两式相减可推断出a_n+3=a_n，进而可知数列{a_n}是以3为周期的数列，只要看2010是3的多少倍，然后通过a₁=1，a₂=2，求得a₃，而2010是3的670倍，故可知S₂₀₁₀=670×（1+2+3）答案可得．

解答：解：依题意可知，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，a_n+1a_n+2a_n+3=a_n+1+a_n+2+a_n+3，两式相减得a_n+1a_n+2（a_n+3-a_n）=a_n+3-a_n，
∵a_n+1a_n+2≠1，
∴a_n+3-a_n=0，即a_n+3=a_n，
∴数列{a_n}是以3为周期的数列，
∵a₁a₂a₃=a₁+a₂+a₃，∴a₃=3
∴S₂₀₁₀=670×（1+2+3）=4020
故选B

点评：本题主要考查了数列的递推式和数列的求和问题．本题的关键是找出数列的周期性．