Question

16．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且bcosA=$\sqrt{3}$asinB．
（1）求角A的大小；
（2）若a=1，cosB=$\frac{4}{5}$，求△ABC的面积S_△．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化简，由sinB不为0求出tanA的值，即可确定出A的度数；
（2）利用同角三角函数关系式可求sinB，由（1）可得sinA，cosA，结合两角和的正弦函数公式可求sinC，利用正弦定理可求b，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）已知等式bcosA=$\sqrt{3}$asinB．可得$\sqrt{3}$asinB-bcosA=0，
利用正弦定理化简得：$\sqrt{3}$sinAsinB-sinBcosA=0，
∵sinB≠0，∴tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则A=30°；
（2）∵cosB=$\frac{4}{5}$，
∴sinB=$\frac{3}{5}$，
又∵cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sinA=$\frac{1}{2}$，
∴sinC=sin（A+B）=$\frac{1}{2}×\frac{4}{5}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$，
∴由正弦定理可得：b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{1×\frac{3}{5}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{6}{5}$，
∴△ABC的面积S_△=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×1×\frac{6}{5}×\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$=$\frac{12+9\sqrt{3}}{50}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，两角和的正弦函数公式，同角三角函数关系式的应用，熟练掌握公式及定理是解题的关键，属于中档题．