Question

如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪， 图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．

（1）设（x≥0），，求用表示的函数关系式,并求函数的定义域；

（2）．如果是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，的位置应在哪里？如果是参观线路，则希望它最长，的位置又应在哪里？请予证明．

 

Answer 1

（1）

（2） 如果是水管,当时, 最短．

如果是参观线路,则为中线或中线时，最长．

【解析】

试题分析：（1）显然变量都在中,寻找两边的关系,利用余弦定理即可．但是发现还有边存在,所以得寻找．根据面积相等,利用面积公式即可得到与的关系．消掉即可得到解析式．但是要考虑实际意义,即函数的定义域．在上,可知自变量的范围是．

（2） 如果是水管,根据（1）中的解析式,观察形式,可知利用均值不等式即可求得最小值．

如果是参观线路,则要求其尽可能的长,所以分析函数的单调性求最大值即可．

（1）中，根据余弦定理有

即; ①

又,即．②

②代入①得, ∴

由题意知点至少是的中点，才能把草坪分成面积相等的两部分。

所以，又在上，，所以函数的定义域是，

．

（2）如果是水管,

当且仅当，即时“＝”成立，故∥，且．

如果是参观线路，记，可知

函数在上递减，在上递增，

故 所以．

即为中线或中线时，最长。

考点：实际应用题;余弦定理;利用均值不等式求函数的最小值;利用函数的单调性得函数的最大值．