Question

【题目】已知抛物线：（）的焦点为，为上一动点，点，以线段为直径作.当过时，的面积为3.

（1）求的方程；

（2）是否存在垂直于轴的直线，使得被所截得的弦长为定值？若存在，求的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；直线：

【解析】

（1），设，所以，，故不妨设，根据面积计算得到，得到答案.

（2）设直线：，被圆所截得的弦长为，，故，代入化简得到，得到答案.

（1）由题意得，，

依题意，当圆过时，因为为直径，所以，即轴.

设，所以，又，解得，故不妨设，

因为，又，得，

由题意得，，即，解得或（舍去）.·

故：.

（2）设直线：，被圆所截得的弦长为.

因为，所以点到：的距离为，

又圆的半径，根据垂径定理有，

得，化简得，

把代入上式得，，其中，

故当且仅当时，无论取何值，恒有.

所以存在直线：被圆所截得的弦长恒为.