Question

【题目】设离心率为3，实轴长为1的双曲线（）的左焦点为，顶点在原点的抛物线的准线经过点，且抛物线的焦点在轴上.

（1）求抛物线的方程；

（2）若直线与抛物线交于不同的两点，且满足，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）12.

【解析】

（1）根据已知条件可设抛物线的标准方程为，再由双曲线的性质求得，即可求得抛物线的标准方程；（2）设直线，与抛物线方程联立，由韦达定理及弦长公式求解最值即可.

解：（1）由已知可设抛物线的标准方程为，

在双曲线中有

解得，点，

又抛物线的准线方程为，且经过点，

，抛物线的标准方程为.

（2）设直线，

，，

则联立消去得，

故，，

且，即，

由点，在抛物线上得，

由得，

解得或（舍），

则，满足，则，

弦长

，当且仅当时取等号，

故的最小值为12.