Question

【题目】已知（），下列结论正确的是（ ）

①当时，恒成立；②当时，的零点为且；③当时，是的极值点；④若有三个零点，则实数k的取值范围为.

A.①②④B.①③C.②③④D.②④

Answer 1

【答案】D

【解析】

①当时，当时，，即可判断真假；②当时，求导求出的单调区间，再结合零点存在性定理，判断是否异号；③当时，求导，求出单调区间，即可判断真假；④令分离参数，转化为求有三个交点时，的范围，通过求导研究函数的图像，即可求出结论.

当时，，，故①错误；

当时，，，

令，，

令，解得，

故在上单调递减，在上单调递增，

故，故在上单调递增.

因为，，

由函数零点存在性定理知，存在，使得，故②正确；

当时，，，，

令，，令，

解得，故在上单调递减，在上单调递增，

故在上单调递增，

故不是的极值点，故③错误；

有三个零点等价于方程有三个根，

即方程有三个根，

令，，

故在上单调递减，在上单调递增，

在上单调递减，，，

大致图象如图所示，故k的取值范围为，④正确.

故选:D.